👯 Rozwinięcia Dziesiętne Liczb Wymiernych Ułamki Okresowe

Ułamki dziesiętne Klasa 4 Imię i nazwisko _____ 1. Połącz w pary: 1,7 jeden i cztery setne 1,23 jeden i sto dwie tysięczne 1,04 jeden i siedem dziesiątych 1,102 jedenaście i osiem dziesiątych 11,8 jeden i dwadzieścia trzy setne 2. Na odwrót, każda liczba wymierna ma przedstawienie okresowe – skończone albo nieskończone. Zatem każdy ułamek, który nie jest okresowy, przedstawia liczbę niewymierną. Na przykład liczba 0,1234567891011121314… (wypisane kolejno cyfry kolejnych liczb naturalnych zapisanych dziesiętnie) jest niewymierna. Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych 7 Ćwiczenie 1. 7. Podpunkt a) 7 Procenty i ułamki 15 Ćwiczenie 1. 15. Podpunkt a) 15 Udostępnij. Przedstawiamy: Liczby wymierne. Liczbę wymierną stanowi każda liczba, którą możemy przedstawić w postaci ułamka zwykłego p q , gdzie p jest jakąkolwiek liczbą całkowitą, a q jest liczbą całkowitą różną od zera. Podsumowując: do zbioru liczb wymiernych zaliczamy liczby całkowite oraz ułamki. Podstawa programowa. Z tej playlisty dowiesz się, jak mnożyć i dzielić ułamki zwykłe i liczby mieszane przez liczby naturalne, liczby mieszane, ułamki zwykłe i liczby dziesiętne. Zobaczysz także, jak obliczyć ułamek danej liczby oraz jak obliczyć kwadrat i sześcian ułamka zwykłego lub liczby mieszanej. Liczby wymierne ,to liczby które można zapisać jako ułamki zwykłe .Są to liczby całkowite , ułamki zwykłe ,liczby dziesiętne skończone lub . nieskończone okresowe. Wśród wypisanych liczb wymierne to: -0,(2)=-2/9 ; 0 ; ∛-27=-3 ; 11/3=9i2/3= 9,(6) . Wśród wypisanych liczb są cztery wymierne. Temat: ROZWINIĘCIA DZIESIĘTNE UŁAMKÓW ZWYKŁYCH. Przedstaw ułamek w postaci dziesiętnej. Pomiń zbędne zera, zaznacz rozwinięcie okresowe przy użyciu nawiasu. 1. =. 20. ANANAS ZA 8 POPRAWNYCH ODPOWIEDZI. 0 BŁĘDÓW: 0 POPRAWNYCH: dzielenia licznika przez metodą dzielenia dziesiętne ułamka zwykłego (P-R) związane z rozwinięciami dziesiętnymi zwykłych. mianownik (P) licznika przez •określić kolejną cyfrę rozwinięcia ułamków zwykłych (D-W) • pojęcie rozwinięcia mianownik (P) dziesiętnego na podstawie jego skróconego dziesiętnego zapisu (P-R) Zamiana liczb dziesiętnych na ułamki zwykłe 07:45. Rozwinięcia dziesiętne ułamków zwykłych 10:32. Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych 10:23. WYZWANIE ① Przekształcanie ułamków 15:00. WYZWANIE ② Przekształcanie ułamków 15:00. WYZWANIE ③ Przekształcanie ułamków 15:00. Ćwiczenia. Odpowiedź turysta przepłynął statkiem km. 0, okresowe znajdź rozwinięcia dziesiętne liczb zapisanych poniżej, ich masy uchwycono w postaci wyrażeń dwu mianowanych. 1= 1, nieskończone np, aby obliczyć ułamek danej liczby, mnożymy ułamek przez tę liczbę, d. Rozwiążemy również ciekawe problemy tekstowe o procentach. liczb naturalnych - rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności 1.3. Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych. Ułamki okresowe - zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane - zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka dziesiętnego skończonego - porównuje ułamki dziesiętne - zapisuje ułamek zwykły 77. cyfra liczby 0, (87) po przecinku. 0, (1) Rozwinięcie dziesiętne liczby ¹/₉. 0,25. Rozwinięcie dziesiętne liczby ¼. 0, (2) Rozwinięcie dziesiętne liczby ²/₉. kl.6 i 7 Learn with flashcards, games, and more — for free. k6Qyk. Rozwinięcie dziesiętne dowolnej liczby wymiernej albo jest skończone, albo zawiera okresowo powtarzający się ciąg cyfr, choć czasem może to być bardzo długi ciąg. Rozwinięcie dziesiętne skończone, to postać dziesiętna ułamka zwykłego, którego można rozszerzyć lub skrócić tak, aby jego mianownikiem była jedna z potęg liczby $10$. Przykłady $\frac{2}{5} = \frac{4}{10} = $\frac{3}{8} = \frac{375}{1000} = $\frac{13}{25} = \frac{52}{100} = Liczby wymierne dopuszczają dziesiętne rozwinięcie okresowe. Podział licznika przez mianownik daje w wyniku takie same cyfry w identycznym porządku. Takie nieskończone rozwinięcie dziesiętne nazywamy rozwinięciem okresowym. Powtarzającą się cyklicznie grupę cyfr nazywamy okresem. W zapisie rozwinięcia, okres wyróżniamy nawiasem. $\frac{1}{3} = = 0.(3)$ $\frac{9}{11} = = 0.(81)$ $\frac{7}{15} = = Inaczej dzieje się w przypadku liczb niewymiernych. Żadna liczba niewymierna nie może zostać zapisana za pomocą dziesiętnego rozwinięcia okresowego. Ta niemożność wyrażnie ukazuje zasadniczą różnicę między liczbami wymiernymi a niewymiernymi. Kiedy liczbę wymierną można przedstawić w postaci rozwinięcia dziesiętnego skończonego? Liczbę można zapisać w postaci skończonego ułamka dziesiętnego wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą wymierną i w rozkładzie mianownika (ułamka skróconego) na czynniki pierwsze, występują wyłącznie liczby $2$ lub $5$. Przykłady Ułamek $\frac{3}{4}$ ma rozwinięcie dziesiętne skończone, bo $4 = 2 \cdot 2$ Ułamek $\frac{7}{20}$ ma rozwinięcie dziesiętne skończone, bo $20 = 2 \cdot 2 \cdot 5$ Ułamek $\frac{4}{25}$ ma rozwinięcie dziesiętne skończone, bo $25 = 5 \cdot 5$ Ułamek $\frac{5}{12}$ nie ma rozwinięcia dziesiętnego skończonego, bo $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ Ułamek $\frac{1}{14}$ nie ma rozwinięcia dziesiętnego skończonego, bo $14 = 2 \cdot 7$ Ułamek $\frac{2}{15}$ nie ma rozwinięcia dziesiętnego skończonego, bo $15 = 3 \cdot 5$ Rozwinięcie dziesiętne ułamka Warg: Jaka cyfra stoi na 74 miejscu po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym ułamka okresowego 3,(7315)? Jaki jest schemat rozwiązywania tego typu zadań? 2 kwi 12:27 Jerzy: = 3,731573157315...... = 3, 7315 7315 7315 74 = 18*4 + 2 ( będzie to druga liczba ciągu 7315 , czyli 3 ) 2 kwi 12:30 Powracający: wedlug mnie tak na 1 miejscu 7 na 2 m 3 na 3 m 1 na 4 m 5 74:4= 18+2 czyli bedzie takich pelnych 18 cykli +2 a na drugim niejsci stoi 3 wiec cyfra 3 stoi na 74 miejscu 2 kwi 12:32 Warg: Dziękuję, rzeczywiście nie takie trudne zadanie 2 kwi 12:34 Home Szkoła i EdukacjaFerie elcia159 zapytał(a) o 11:32 Rozwinięcia dziesiętne liczb okresowe taką liczbę naturalną 'n',dla której 3 dzielone przez 'n'=0,(27). jakiej liczby naturalnej 'n' zachodzi równość 'n' dzielone przez 3=7,(6)?Proszę o odpowiedź !Na jutro!Z góry dzięki 😊 0 ocen | na tak 0% 0 0 Odpowiedz Odpowiedzi Bądź pierwszą osobą, która udzieli odpowiedzi! Twoja odpowiedź pomoże także innym użytkownikom. Uważasz, że ktoś się myli? lub Temat lekcji: Ułamki zwykłe, ułamki dziesiętne, ułamki okresowe. Cele lekcji: -sposoby skracania ułamków, zastosowanie nwd, -zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny, -sposoby wydzielania okresów, -wyznaczanie ilości cyfr między przecinkiem a okresem, -wyznaczanie długości okresu. Przebieg lekcji: Omówienie sposobów wyznaczania największego wspólnego dzielnika (największy wspólny dzielnik będzie potrzebny w pkt. d do skracania ułamków): a) Sposób wyznaczania najwiekszego wspólnego dzielnika z wykorzystaniem standardowej procedury gcd kalkulatora TI 92, np. wpisujemy w linii edycyjnej wyrażenie gcd(1995,1957) i po naciśnięciu ENTER otrzymujemy wynik Sposób wyznaczania najwiekszego wspólnego dzielnika przy pomocy algorytmu Euklidesa zapisanego jako program na kalkulator TI 92. Pisanie programu rozpoczynamy klawiszami APPS - 7:Program Editor -Enter - 3:New - Enter i w okienku Variable wpisujemy nazwę programu, np. algorytm i naciskamy dwa razy ENTER. :algorytm(a,b) :Prgm :ClrIO :1->r :While r>0 : mod(a,b)->r : Disp string(a)&"="&string(intDiv(a,b))&"*"&string(b)&"+"&string(r) : b->a : r->b :EndWhile :Disp "NWD="&string(a) :EndPrgm Po napisaniu programu należy przejść klawiszami APPS i 1:Home do głównego okna kalkulatora i w linii edycyjnej wpisać zlecenie: algorytm(1995,1957). Po naciśnięciu ENTER otrzymujemy wynik: 1995=1*1957+38 1957=51*38+19 38=2*19+0 NWD=19 c) Ćwiczenia w wyznaczaniu najwiekszego wspólnego dzielnika różnych par liczb, d) Ułożenie programu na skracanie ułamków z wykorzystaniem najwiekszego wspólnego dzielnika: :skroc(l,m) :Prgm :ClrIO :string(l)&"/"&string(m)&"="->s :gcd(l,m)->n :l/n->l :m/n->m :Disp s&string(l)&"/"&string(m) :EndPrgm Przykładowy wynik działania programu - w linii edycyjnej należy wpisać zlecenie skroc(1995,1957) 1995/1957=105/103 e) Ćwiczenia w skracaniu ułamków. Sposoby zamiany ułamka zwykłego na ułamek dziesiętny: a) Sposób poprzez zwykłe pisemne dzielenie: 133 : 74 = 1,7972972972972972972... 74 590 518 720 666 540 518 220 148 720 ... Wniosek: Jeśli w trakcie dzielenia powtórzy się któraś reszta to dzielenie można przerwać ponieważ dalsze cyfry rozwinięcia dziesiętnego również będą się powtarzać. b) Sposób zamiany ułamka zwykłego na dziesiętny do 12 cyfr znaczących - wykorzystanie opcji APPROXIMATE i Display Digits-FLOAT 12 kalkulatora TI 92: 133/74 Należy zwrócić uwagę, że ostatnia cyfra tego rozwinięcia jest zaokrąglana. c) Sposób zamiany ułamka zwykłego na dziesiętny do 175 miejsc po przecinku przy pomocy poniższego programu: :dziel(licz,mian) :Prgm :ClrIO :string(licz)&"/"&string(mian)&"="&string(intDiv(licz,mian))&"." ->s :For n,1,175,1 : mod(licz,mian)*10->licz : s&string(intDiv(licz,mian)) ->s : If mod(n,25)=0 Then : Disp s : " "->s : EndIf :EndFor :Disp s :EndPrgm Przykładowy wynik działania programu - w linii edycyjnej należy wpisać zlecenie: dziel(133,74) 133/74= 9729729729729729729729729 7297297297297297297297297 2972972972972972972972972 9729729729729729729729729 7297297297297297297297297 2972972972972972972972972 Własności ułamków okresowych. Ćwiczenia w zamianie ułamków zwykłych na dziesiętne przy pomocy programu dziel(a,b) i wyznaczanie ich okresów: 2 / 3 = - okresem jest cyfra 6 3 / 4 = - okresem jest cyfra 0 3 / 5 = - okresem jest cyfra 0 5 / 6 = - okresem jest cyfra 3 6 / 7 = - okresem jest grupa cyfr 857142 9 / 11 = - okresem jest grupa cyfr 81 11 / 15 = - okresem jest cyfra 3 19 / 60 = - okresem jest cyfra 6 133 / 74 = - okresem jest grupa cyfr 972, Należy zwrócić uwagę, że dla wiekszych liczb wyznaczanie okresów jest dość kłopotliwe i dlatego należy poszerzyć program dziel(a,b) o procedurę ich automatycznego wyznaczania. Poniższy program na zamianę ułamków zwykłych na okresowe zawiera taką procedurę. :zuzno(licz,mian) :Prgm :ClrIO :string(licz)&"/"&string(mian)&"="->s :Disp s :gcd(licz,mian)->nwd1 :licz/nwd1->licz :mian/nwd1->mian :"="&string(licz)&"/"&string(mian)&"="->s :s&string(factor(licz))&"/("&string(factor(mian))&")="->s :Disp s :"="&string(intDiv(licz,mian))&"."->s :mian->mian1 :0->i2 :While mod(mian1,2)=0 : i2+1->i2 : mian1/2->mian1 :EndWhile :0->i5 :While mod(mian1,5)=0 : i5+1->i5 : mian1/5->mian1 :EndWhile :max(i2,i5)->immpao :If immpao=0 : s&"9"->s :1->dlok :9->licz1 :While mod(licz1,mian1)>0 : dlok+1->dlok : mod(licz1,mian1)*10+9->licz1 :EndWhile :For n,1,150,1 : mod(licz,mian)*10->licz : s&string(intDiv(licz,mian))->s : If immpao=n : s&"("->s : If immpao+dlok=n : s&")"->s : If mod(n,25)=0 Then : Disp s : " "->s : EndIf :EndFor :Disp s :EndPrgm Po uruchomieniu tego programu zleceniem zuzno(1995,1957) otrzymujemy: 1995/1957=105/103=3*7*5/103= =1.(0194174757281553398058252 427184466)0194174757281553 3980582524271844660194174 7572815533980582524271844 6601941747572815533980582 52019417475728155339805825 Program skraca ułamek, rozkłada licznik i mianownik na czynniki pierwsze i oznakowuje nawiasami ( ) okres. c) Postawienie uczniom do rozwiązania problemu 1. Problem 1. Czy każdy ułamek ma rozwinięcie okresowe? Odpowiedź: Każdy ułamek zwykły ma rozwinięcie okresowe. Uzasadnienie: W trakcie każdego dzielenia pisemnego któraś reszta musi się powtórzyć i dalsze cyfry rozwinięcia również będą się powtarzać. (Ilość różnych reszt ułamka nieskracalnego p/q, wynosi co najwyżej q-1.) d) Sformułowanie i rozwiązanie problemu 2. Problem 2. Czy zawsze okres rozpoczyna się tuż po przecinku? Jeśli nie, to jak określić ilość cyfr, rozwinięcia dziesiętnego ułamka, między przecinkiem a pierwszą cyfrą okresu? W czasie rozwiązywania problemu uczniowie powinni wykonać wiele przykładów na zamianę ułamków zwykłych na okresowe i szczegółowo przeanalizować te przykłady w których okres nie rozpoczyna się tuż po przecinku. Program zuzno(a,b) podaje, oprócz rozwinięcia dziesiętnego i okresu, również rozkład licznika i mianownika na czynniki pierwsze, co powinno pomóc w rozwiązaniu problemu. Odpowiedź: Ilość cyfr między przecinkiem a okresem równa jest większej z ilości dwójek lub piątek w rozkładzie mianownika na czynniki pierwsze. Uzasadnienie: Każde dzielenie przez 2 lub przez 5 lub przez 2*5, czyli przez 10, daje jedną cyfrę rozwinięcia dziesiętnego. Cyfra ta nie powtarza się ponieważ takie dzielenie jest skończone i daje reszte zero. Jeśli w mianowniku są jeszcze inne czynniki różne od 2 i od 5 to dzielenie jest nieskończone i one decydują o okresie. Patrz przykłady 5/6, 11/15, 23/60, 133/74. e) Sformułowanie i rozwiązanie problemu 3. Problem 3. Jaka jest własność ułamków o mianownikach 9, 99, 999, ... ? Uczniowie powinni wykonywać przykłady na zamianę ułamków o mianownikach 9, 99, 999, ... na ułamki okresowe i obserwować wyniki. Odpowiedź: Ułamki o mianowniku 9, 99, 999, ... mają okresy złożone z tylu cyfr ile jest dziewiątek w mianowniku. Jednocześnie licznik takiego ułamka jest jego okresem (z ewentualnymi zerami na początku, jeśli ilość cyfr licznika jest mniejsza od ilości cyfr mianownika). Np. 1/9 = 0.(1)11111111111111111111111111111... 5/9 = 0.(5)55555555555555555555555555555... 7/99 = 0.(07)0707070707070707070707070707... 12/99 = 0.(12)1212121212121212121212121212... Odpowiedź jest prawidłowa nawet wtedy, gdy ułamek o mianowniku 9, 99, 999, ... skróci się, np. 6/9 = 2/3 = 0,(6)666666666666666666666666 592/999 = 16/27 = 0.(592)592592592592592592 f) Sformułowanie i rozwiązanie problemu 4. Problem 4. Jak określić długość okresu ułamka p/q bez wykonywania dzielenia liczb p i q? Pomysł rozwiązania tego problemu powinna nasunąć odpowiedź do poprzedniego problemu. Odpowiedź: Dla ułamków o mianownikach 9, 99, 999,... długość okresu jest równa ilości dziewiątek w tych mianownikach. Zatem dla innych ułamków należy rozszerzyć je do mianownika 9 lub 99 lub 999 lub ... - ilość otrzymanych dziewiatek jest długością okresu. Przykłady: a) ułamek o mianowniku 11 ma okres złożony z dwóch cyfr ponieważ można go rozszerzyć do ułamka o mianowniku 99. b) ułamek o mianowniku 37 ma okres długości 3 ponieważ można go rozszerzyć do ułamka o mianowniku złożonym z 3 dziewiątek. Sposób ten jest zastosowany w programie zuzno(a,b) do wyznaczania okresu. g) Ćwiczenia w wyznaczaniu długości okresów ułamków. (przed rozszerzaniem ułamków dobrze jest rozłożyć na czynniki liczby 9, 99, 999, .... Wykorzystać do tego celu zlecenie factor(a), np. factor(999) 37*33.) 4. Zadanie domowe. Znaleźć taką liczbę pierwszą q, aby ułamek 1999/q zapisany w postaci dziesiętnej miał w okresie: a) 5 cyfr b) 10 cyfr c) 17 cyfr. Najlepsza odpowiedź Odp. Aby ułamek miał rozwinięcie dziesiętne skończone jego mianownik w nieskracalnej postaci musi być iloczynem wyłącznie liczb 2 i/lub 5, więc odpowiedź B ( 3/8 nieskracalna postać, mianownik wynosi 8 czyli 2*2*2, więc składa się z dwójek) - 0,375 Odpowiedzi edi<3 odpowiedział(a) o 22:01 moim zdaniem a ale nie jestem pewna :) blocked odpowiedział(a) o 22:03 B. Słuchaj nie prościej wziąć kalkulator, albo lepiej- trochę pomyśleć i dojść do tego samemu? To nie jest żadna wyższa matematyka. Uważasz, że znasz lepszą odpowiedź? lub

rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych ułamki okresowe